ЦЕЛЕВЫЕ УСТАНОВКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ
Пудовкин А.А. (Кафедра прикладной математики и естественнонаучных дисциплин, МГТУ)
Аннотация.
Рассмотрена взаимосвязь содержания программы обучения студентов с задачами, для решения которых они должны быть подготовлены. Термины выделены в тексте курсивом.
Введение.
Стандарты различных специальностей экономического профиля предусматривают различное содержание без четкой регламентации установок на достигаемые при обучении цели. Однако все они сходятся в необходимости подготовки к принятию обучаемым студентом управленческих решений. В большинстве практических ситуаций эти решения должны быть подготовлены количественно. Такую подготовку можно сформулировать в виде решения той или иной оптимизационной задачи. Цель обучения, таким образом, сводится к ознакомлению с кругом задач имеющих как прецеденты решения, так и экономическую интерпретацию. Современные методы компьютерного обеспечения баз данных для хранения и электронных таблиц, а также видеосред программирования, для обработки информации предоставляют большие возможности для ее оптимального использования. Это использование может быть построено на базе обсуждающихся ниже математических методов.
Описание ситуации.
Прежде всего, при количественной характеристике результата необходимо количественное описание ситуации, в которой принимается решение. Такое описание формулируется в виде модели. Однако реально существуют не модели, а описываемые ими характеристики реальной действительности. Насколько хорошо соответствуют, в количественном отношении, предлагаемые описания экспериментальным наблюдениям помогает определить математическая статистика.
Наиболее простая модельная ситуация связана с задачей решаемой дисперсионным анализом. Этот аппарат помогает принять обоснованное решение о том, различались ли условия, в которых проводились действия, соответствующие различным группам наблюдений. Характеристика условий изменяется ступенчато. Для случая, когда гипотеза об одинаковости условий отвергается, существует аппарат контрастов, позволяющих различить группы, характеризуемые различными условиями.
Следующая по сложности модельная ситуация связана с непрерывным изменением характеристики условий при проведении наблюдений. В таком случае каждое наблюдение, а не вся группа, характеризуется значением предиктора (независимой переменной), а в результате использования регрессионного анализа оцениваются параметры функциональной взаимосвязи предиктора и зависимой переменной. Предикторов может быть несколько и в таком случае анализ называется многофакторным, другой характеристикой является определение линейный или нелинейный по типу функциональной взаимосвязи зависимой и независимой переменных. Модель может строиться и в виде дифференциального (в непрерывном варианте, а в дискретном варианте разностного) уравнения, решением которого является описываемая взаимосвязь. В этом варианте анализ называется авторегрессионным. Между непрерывным вариантом и его дискретным аналогом нет точного соответствия всех характеристик, но подбором параметров схемы наблюдений их можно сделать сколь угодно близкими, расплачиваясь, однако, громоздкостью описания. Необходимо отметить, что аппарат оптимального управления оперирует описанием управляемого объекта именно в виде дифференциального (разностного) уравнения. Переменные, приводящие уравнение высокого порядка к системе уравнений первого порядка, называют переменными состояния.
Регрессионный анализ описывает, как правило, детерминированную взаимосвязь, искаженную неучтенными моделью обстоятельствами. Однако он может быть обобщен и на случай вероятностной (стохастической) взаимосвязи, т.е. наличия дополнительной неопределенности, связанной с описываемой взаимосвязью. В таком случае предсказание с использованием подобного описания строится не только на основе детерминированной компоненты, которая теперь является нестационарным математическим ожиданием, но и с использованием дополняющей в таком случае описание нестационарной дисперсии (дисперсионной матрицы), а также наблюдений за описываемой характеристикой (независимой переменной) на интервале, непосредственно предшествующем прогнозному значению. В этом варианте аппарат известен под названием фильтр Калмана-Бьюси.
Характер модели ситуации, в которой планируется принимать решение, может изменяться исследователем в ходе ее подбора, в таком случае процедура именуется идентификацией модели.
Количественное обоснование решения.
Описанная выше модель ситуации может быть использована при обосновании изменений независимых переменных с целью управления изменением значения зависимой переменной в желаемом направлении. Обоснование решения может быть проведено с точки зрения целевой функции, признающей лучшим то решение, значения аргументов которого приводят к экстремальному значению целевой функции. Аргументами целевой функции могут являться зависимая переменная и независимые переменные. Как правило, это обоснование получается в виде решения одной из задач исследования операций. Эти задачи решаются одним из перечисленных ниже методов: линейное, нелинейное, геометрическое, динамическое, стохастическое, дискретное программирование. Название метода связано со специфическим видом целевой функции или сопутствующих ей функций - ограничений.
Гораздо более сложной является ситуация, когда вид функции описывающей решение не считается известной заранее, а получается в ходе подготовки принятия решения. Эта ситуация описывается целевым функционалом, использующим заранее заданную меру ошибки. В подобной ситуации ищется зависящее от времени управляющее воздействие. Такая ситуация является предметом рассмотрения оптимального управления, раздела математики решающего задачи существенно более сложные, чем описанный выше класс задач. Среди задач оптимального управления различают задачи с целевыми функционалами в форме Больца, Лагранжа, Майера при наличии или в отсутствии ограничений в форме неравенств или равенств. Эти задачи, как правило, решаются с использованием либо метода Эйлера - Лагранжа и эквивалентного ему метода максимума Понтрягина либо метода Гамильтона - Якоби и эквивалентного ему метода динамического программирования Беллмана. Методы Эйлера - Лагранжа и Понтрягина применимы к ситуациям, описываемым нелинейными нестационарными дифференциальным (разностными) уравнениями, при этом меры ошибки могут быть нестационарными, а также более сложными, чем квадратические. Методы Гамильтона -Якоби и Беллмана связаны с дифференциальными уравнениями в частных производных. На практике они не применяются к ситуациям более сложным, чем при линейных нестационарных дифференциальных уравнениях и мерах ошибки содержащих линейную компоненту по переменной состояния и квадратичные компоненты по переменным состояния и управления. При решении уравнений в частных производных используется метод разделения переменных, в котором заранее выбирают тип зависимости решения от переменной состояния. Обычно используемая квадратическая зависимость приводит в таком случае при линейном нестационарном уравнении состояния к матричному дифференциальному уравнению типа Риккати по времени.
Рассмотрение задач оптимального управления весьма желательно в учебных курсах предворить рассмотрением задач вариационного исчисления. В вариационном исчислении строго обосновывается взаимосвязь целевого функционала решаемой задачи с уравнениями Эйлера - Лагранжа, которые только задают дифференциальное уравнение, которому, в свою очередь, подчиняется решение по переменным состояния и управления. Общее решение уравнений Эйлера - Лагранжа в каноническом виде может быть найдено из полного интеграла уравнения Гамильтона - Якоби, которое строго обусловлено целевым функционалом и является уравнением в частных производных. Решение вариационных задач может быть выполнено строго и не имеет непосредственного отношения к решению задач оптимального управления. Однако, имея навык строгого решения вариационных задач гораздо проще понять вывод уравнений практически гораздо более широко используемых прикладных методов Понтрягина и Беллмана.
Использование стохастического описания ситуации в сочетании с методами оптимального управления приводят к формулировке линейной (дифференциальное уравнение) квадратической (меры ошибки) гауссовой (функция распределения остатков) задачи адаптивного оптимального управления. Для ее решения достаточно модификации описанных выше методов.
Заключение.
Студенты специальностей прикладная информатика (351400), национальная экономика (060700), менеджмент (061100), коммерция (061400), маркетинг (061500) должны иметь представление о формулировании и методах решения экстремальных задач, но в различной степени. Если студенты специальностей прикладная информатика, национальная экономика и менеджмент должны уметь различать варианты задач оптимального управления, то для остальных достаточно понимать отличие задач исследования операций от задач оптимального управления. Однако для получения навыка студенты всех упомянутых специальностей должны выполнить расчетно-графические работы, как с задачами исследования операций, так и задачами оптимального управления.