Cекция "Kомпьютерные и информационные технологии в технических системах, экономике, науке и образовании" НОВЫЙ ИНДЕКС ДЛЯ АНАЛИЗА НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ Прыгунов А.И., Белолипецкий А.В. (кафедра технической механики, МГТУ) Развитие методов компьютерного моделирования динамических систем и методов цифрового анализа данных привело к получению новых знаний о поведении динамических систем, включая нелинейные механические системы. Обычными стали такие понятия, как странный аттрактор, бифуркация, хаос в применении к объектам механики и не только модельным, но и реальным, включая конкретные типы машин. В тоже время, переход от теоретических исследований нестационарных процессов в понятиях и терминах нелинейной динамики систем к экспериментальным исследованиям показал, что применение в практике эксперимента основных теоретических понятий науки о хаосе весьма затруднено. Проблема усугубляется так же тем, что круг теоретических методов исследования нестационарных процессов сам по себе не широк и мало эффективен, поэтому для решения экспериментальных задач приходится использовать практически все новейшие достижения в области обработки сигналов. Наиболее эффективными методами исследования нестационарных процессов в эксперименте оказались методы перехода от представления сигнала- аналога процесса во временной области к представлению его во время-частотной области. Разработано много методов такого представления, базирующего на быстром преобразовании Фурье коротких участков временной реализации. Различие методов заключается в использовании различных усредняющих и сглаживающих окон, конечной целью применения которых является повышение достоверности спектральных энергетических оценок процессов на коротких реализациях при сохранении достаточной разрешающей способности анализа по частоте. Проблема окон возникает из проблемы высокой чувствительности результатов Фурье-анализа к условиям на концах отрезка реализации, подлежащего анализу. Широкое применение на практике получили методы анализа с использованием разбиения реализации на короткие отрезки с последующим последовательным их спектральным анализом (преобразование Фурье на коротких реализациях) и методы основанные на использовании скользящих окон: от гауссовского сглаживающего окна до комбинации особым образом подобранных сглаживающего и усредняющего окон. Недостаточная статистическая достоверность энергетической оценки вклада высокочастотных компонент на коротких реализациях привела к необходимости использования нелинейного, в смысле зависимости геометрии от частоты анализа, окна элементарной волны (вэйвлет). Особое место занимают методы экспериментального исследования нестационарной динамики машин, основанные на теории орбит, суть которой заключается в представлении динамики системы как эволюции некоторой траектории в обобщённом фазовом пространстве. Следует отметить, что эти методы восходят к классическим работам А.М. Ляпунова и А. Пуанкаре. Идея геометризации динамики успешно развивается в трудах В.И. Арнольда и его школы. Для оценивания характера фазовой траектории используют оценки типа плоских или трёхмерных карт “координата-скорость” и карт задержки, так как фазовая траектория объект математический (фазовый поток) и недоступна для прямого наблюдения в эксперименте. Степень стационарности фазовой траектории определяется компактностью расположения семейства фазовых траекторий за несколько периодов на плоскости оценивания. Количественными мерами оценки нестационарности траектории могут быть фрактальная размерность n(r), где r-масштабный параметр, при незначительной нестационарности траектории, и показатели (индексы) Ляпунова l, если отмечаются существенные изменения координатных интервалов Dqi ,Dpi за иттерацию при дискретном построении траектории. Недостатком фрактальной размерности является её низкая чувствительность к изменениям траекторий, так как на плоскости она может изменяться от 1 до 2, а для локально плоских фигур в пространстве, какими являются трёхмерные карты задержки, от 2 до 3. Вычисление показатели Ляпунова не встречает проблем только в теории. В тоже время, практически отсутствуют показатели эволюции формы фазовой траектории, которая имеет существенное значение в связи с явлением структурной устойчивости колебаний. Единственным показателем формы траектории можно считать индекс Пуанкаре пригодный для периодических режимов колебаний и показывающий число полных оборотов единичного касательного к фазовой траектории сопутствующего вектора за один период развития фазовой траектории. Близка по сути к этому параметру и кратность траектории на диаграммах Пуанкаре. Мы предлагаем новый показатель формы, пригодный для определения зон структурной устойчивости колебаний по данным эксперимента вне зависимости от характера устойчивости по Ляпунову. Данный метод может быть полезен также при экспериментальном исследовании фрактальной структуры колебаний. © МГТУ 2000 webmaster@mstu.edu.ru
НОВЫЙ ИНДЕКС ДЛЯ АНАЛИЗА НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ Прыгунов А.И., Белолипецкий А.В. (кафедра технической механики, МГТУ) Развитие методов компьютерного моделирования динамических систем и методов цифрового анализа данных привело к получению новых знаний о поведении динамических систем, включая нелинейные механические системы. Обычными стали такие понятия, как странный аттрактор, бифуркация, хаос в применении к объектам механики и не только модельным, но и реальным, включая конкретные типы машин. В тоже время, переход от теоретических исследований нестационарных процессов в понятиях и терминах нелинейной динамики систем к экспериментальным исследованиям показал, что применение в практике эксперимента основных теоретических понятий науки о хаосе весьма затруднено. Проблема усугубляется так же тем, что круг теоретических методов исследования нестационарных процессов сам по себе не широк и мало эффективен, поэтому для решения экспериментальных задач приходится использовать практически все новейшие достижения в области обработки сигналов. Наиболее эффективными методами исследования нестационарных процессов в эксперименте оказались методы перехода от представления сигнала- аналога процесса во временной области к представлению его во время-частотной области. Разработано много методов такого представления, базирующего на быстром преобразовании Фурье коротких участков временной реализации. Различие методов заключается в использовании различных усредняющих и сглаживающих окон, конечной целью применения которых является повышение достоверности спектральных энергетических оценок процессов на коротких реализациях при сохранении достаточной разрешающей способности анализа по частоте. Проблема окон возникает из проблемы высокой чувствительности результатов Фурье-анализа к условиям на концах отрезка реализации, подлежащего анализу. Широкое применение на практике получили методы анализа с использованием разбиения реализации на короткие отрезки с последующим последовательным их спектральным анализом (преобразование Фурье на коротких реализациях) и методы основанные на использовании скользящих окон: от гауссовского сглаживающего окна до комбинации особым образом подобранных сглаживающего и усредняющего окон. Недостаточная статистическая достоверность энергетической оценки вклада высокочастотных компонент на коротких реализациях привела к необходимости использования нелинейного, в смысле зависимости геометрии от частоты анализа, окна элементарной волны (вэйвлет). Особое место занимают методы экспериментального исследования нестационарной динамики машин, основанные на теории орбит, суть которой заключается в представлении динамики системы как эволюции некоторой траектории в обобщённом фазовом пространстве. Следует отметить, что эти методы восходят к классическим работам А.М. Ляпунова и А. Пуанкаре. Идея геометризации динамики успешно развивается в трудах В.И. Арнольда и его школы. Для оценивания характера фазовой траектории используют оценки типа плоских или трёхмерных карт “координата-скорость” и карт задержки, так как фазовая траектория объект математический (фазовый поток) и недоступна для прямого наблюдения в эксперименте. Степень стационарности фазовой траектории определяется компактностью расположения семейства фазовых траекторий за несколько периодов на плоскости оценивания. Количественными мерами оценки нестационарности траектории могут быть фрактальная размерность n(r), где r-масштабный параметр, при незначительной нестационарности траектории, и показатели (индексы) Ляпунова l, если отмечаются существенные изменения координатных интервалов Dqi ,Dpi за иттерацию при дискретном построении траектории. Недостатком фрактальной размерности является её низкая чувствительность к изменениям траекторий, так как на плоскости она может изменяться от 1 до 2, а для локально плоских фигур в пространстве, какими являются трёхмерные карты задержки, от 2 до 3. Вычисление показатели Ляпунова не встречает проблем только в теории.
В тоже время, практически отсутствуют показатели эволюции формы фазовой траектории, которая имеет существенное значение в связи с явлением структурной устойчивости колебаний. Единственным показателем формы траектории можно считать индекс Пуанкаре пригодный для периодических режимов колебаний и показывающий число полных оборотов единичного касательного к фазовой траектории сопутствующего вектора за один период развития фазовой траектории. Близка по сути к этому параметру и кратность траектории на диаграммах Пуанкаре. Мы предлагаем новый показатель формы, пригодный для определения зон структурной устойчивости колебаний по данным эксперимента вне зависимости от характера устойчивости по Ляпунову. Данный метод может быть полезен также при экспериментальном исследовании фрактальной структуры колебаний.